Comme l’expliquais si bien Dan Gardner dans son excellent livre « Risk », l’humain est aveugle aux probabilité, c’est-à-dire que nous avons beaucoup de difficulté à évaluer les événements incertains. Les humains utilisent des raccourcis mentaux et des « règles du pouce » pour prendre des décisions plus rapidement, même si cela mène souvent à commettre des erreurs.
Le paradoxe de Monty Hall est une énigme soulevée par le statisticien américain Steve Selvin en 1975. Monty Hall était l’animateur de la populaire émission « Let’s Make a Deal », qui démarra aux États-Unis en 1963.
Supposons que Monty Hall vous place devant trois portes, derrières lesquelles il y a une voiture et deux chèvres. Si vous réussissez à deviner la porte derrière laquelle se cache la voiture, vous remportez ce prix.
- Il vous demande d’abord de choisir l’une des trois portes (supposons que vous choisissiez la porte numéro 1).
- Puis, Monty Hall ouvre l’une des deux autres portes derrière laquelle il sait qu’il y a une chèvre (disons la porte numéro 2).
- Finalement, il vous demande si vous désirez modifier votre choix.
Devriez-vous conserver votre choix ou changer pour la porte numéro 3?
Pensez-y quelques instants…
Il ne reste que deux portes…donc il y a une probabilité de 50% que la voiture soit derrière l’une ou l’autre, n’est-ce pas?
Conséquemment, vous devriez être indifférent entre la porte numéro 1 et la porte numéro 3…
Vous décidez donc de ne pas changer votre choix…
Est-ce la bonne réponse?
……
Non!
Votre cerveau a été déjoué!
Vous auriez dû saisir l’opportunité de choisir la porte numéro 3!
Et ce qui est encore plus paradoxal est que si votre choix initial avait été la porte numéro 3, vous auriez dû changer pour la numéro 1 lorsque Monty Hall vous en a donné l’opportunité!
Vous ne me croyez pas? Voici le raisonnement.
Lors de votre choix initial, chaque porte a une probabilité de 33% de dissimuler la voiture, vous êtes donc indifférent entre les trois portes.
Cependant, lorsque Monty Hall vous révèle que la voiture n’est pas derrière la porte numéro 2, vous disposez d’une nouvelle information qui doit être prise en compte dans les probabilités.
Suite à votre choix initial, vous serez d’accord avec moi que la voiture a 33% de chance d’être derrière la porte numéro 1 que vous avez choisie et 67% de chances d’être derrière l’une des deux autres portes. Cependant, une fois que la porte numéro 2 est éliminée, cela signifie que la voiture a 67% de chance d’être derrière la porte numéro 3! Vous devriez donc choisir cette porte puisqu’elle a deux fois plus de chances de cacher la voiture!
Beaucoup de gens choisissent pourtant de ne pas modifier leur choix, souvent à cause de l’aversion à la dépossession et au biais de statu quo, mais aussi simplement parce que les gens sont aveugles face aux probabilités.
Vous ne me croyez pas? Vous pensez que ce ne sont que des conjectures mathématiques qui n’ont aucun lien avec le monde réel?
Et bien faîtes le test vous-mêmes avec un jeu de carte ou encore mieux, avec une simulation Monte Carlo. Vous verrez que la stratégie consistant à changer son choix gagne deux fois plus souvent que celle consistant à conserver son choix initial!
Autres exemples…
Supposons que la foudre a une chance sur 30 de frapper dans votre ville une journée donnée et que cette probabilité ne change pas d’une journée à l’autre, peu importe ce qu’il arrive.
- Disons que la foudre a frappé votre ville le 1er avril.
- Vous vous demandez quand la foudre frappera la prochaine fois.
- Est-il plus probable que la foudre frappe à nouveau le 2 avril, le 4 avril, le 10 avril ou le 1er mai?
La réponse est évidemment le 2 avril, dont la probabilité est 1/30 ou 3.33%.
Pour que la prochaine foudre frappe le 4 avril, il faudrait d’abord qu’elle ne frappe pas le 2, ni le 3.
La probabilité que la foudre ne frappe pas le 2 avril est de 29/30, même chose pour le 3 avril.
Donc :
29/30 x 29/30 x 1/30 = 3.11%
Beaucoup de gens répondent le 1er mai, alors que la probabilité n’est plus que de 1.20%. Ce phénomène peut être décrit pas une loi de Poisson, que le cerveau humain a beaucoup de mal à traiter.
La plupart des gens ont de la difficulté à croire que si 57 personnes se trouvent dans la même pièce, la probabilité que deux d’entre elles aient la même date de naissance est de 99%!
Beaucoup de gens croient dur comme fer qu’au Loto 6/49, la séquence 1-2-3-4-5-6 est moins probable que disons 3-12-21-28-35-47. Pourtant, un grand nombre de gens achète un billet avec 1-2-3-4-5-6 en se disant (avec raison) qu’un jour, cette combinaison sortira…mais le gain sera faible puisqu’il sera divisé entre un nombre record de gagnants.
En revanche, beaucoup de gens pensent que si le chiffre 49 n’est pas sorti depuis 10 tirages, ses chances de sortir au prochain tirage sont plus élevées. C’est évidemment faux, exemple flagrant de l’erreur du parieur.
Supposons que l’on joue à pile ou face, selon vous laquelle de ces deux séquences est réelle et laquelle est fictive (P=pile, F=face):
1) PPFFPFPPPP ou 2) FPFPPFPFFP
La séquence numéro 1 est typique d’un événement aléatoire (même si elle comprend 4 piles consécutifs), alors que la séquence numéro 2 est fictive. Il est normal d’avoir des séquences de 4 piles, et cela ne signifie pas que le lancer suivant a plus de chance de tomber sur face. En revanche, les séquences parfaitement équilibrées comme la séquence numéro 2 sont plutôt rares.
Conclusion
Sans vouloir me vanter, je ne me fais pratiquement jamais berner par ces paradoxes et biais cognitifs. Ça fait partie de mon travail et j’ai été formé pour cela, ce qui n’est pas le cas de la majorité de la population. Cependant, je dois avouer qu’il m’a fallu réfléchir plusieurs minutes avant de bien saisir le problème Monty Hall. Néanmoins, même les gens éduqués (et même des mathématiciens) se font initialement duper par ce problème; ce n’est pas tant une question d’intelligence. Seulement 13% des gens décident de changer leur choix de porte!
Je trouve ces petits paradoxes mathématiques fascinants, car ils nous montrent à quel point le cerveau humain est vulnérable vu sa propension à prendre des raccourcis qui mène souvent à un ravin.
L’être humain est définitivement irrationnel, tel que démontré hors de tout doute par, entre autres, Daniel Kahneman et Amos Tversky, et cela est en partie attribuable à son incapacité à bien évaluer les probabilités.
Dans ce contexte, il est peu surprenant que la population soit si sympatique aux idées politiques populistes telles que le salaire minimum à $15, le protectionnisme ou encore les subventions…
http://ed.ted.com/featured/PWb09pny
https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
Ce raisonnement est insuffisant, car il ne prend pas en compte la connaissance du présentateur.
Considère la variante de Monty Hall dans laquelle le présentateur ne connait pas l’emplacement de la voiture. Cette fois, il en ouvre l’une des deux autres portes, au hasard. Du coup, on ignore toutes les parties où il tombe sur la voiture.
Sur les parties non ignorées, faut-il changer de porte ou ça revient au même? Le raisonnement précédent conduit à la mauvaise réponse 🙂
@OM
Selon moi, la connaissance de Monty Hall ne change rien. S’il ouvre une porte derriere laquelle il y a une chevre, vous beneficiez quand meme de la nouvelle information et la strategie de changer de porte demeure la meilleure.
Non, dans ce cas la proba est 1/2.
J’avais posté un commentaire l’autre jour avec un lien, mais il n’est pas passé…
@om
Je n’ai pas vu votre commentaire.
Pourriez-vous renvoyer ce lien?
@Minarchiste
C’était un lien sur un billet de blog que j’avais écrit, y’a une partie sur Monty Hall et un petit programme qui simule les deux cas :
http://blog.rom1v.com/2012/12/paradoxes-probabilistes/
Et aussi ce lien wikipedia:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Monty_Hall#Changeons_les_r.C3.A8gles_d.27ouverture
@OM
Ok, donc Monty choisit au hasard, et s’il tombe sur la voiture, on recommence tout.
Les probabilités sont A) 1/3 vous avez choisit la voiture, B) 1/3 Monty révèle une chèvre et la voiture est dans l’autre porte, C) 1/3 Monty dévoile la voiture et on rejoue.
Si Monty a déjà dévoilé une chèvre, cela signifie que le cas C est éliminé, mais les cas A et B on la même probabilité, donc pas de raison de changer.
Bonjour, pourriez-vous me dire quel est votre compte Twitter ? J’ai deux minarchistes dans ma liste et j’ai hésité à choisir pour pouvoir vous retweeter. Et avez-vous une compte FB ? Merci beaucoup.
Très intéressant article. J’avais moi-même parlé du paradoxe de Monty Hall dans un article.
Cordialement, Nathalie MP.
Je n’ai pas de compte Twitter ni de facebook.
Pour obtenir les mises à jour, je vous reommande soit l’inscription par courriel, soit le RSS.
« Pour que la prochaine foudre frappe le 4 avril, il faudrait d’abord qu’elle ne frappe pas le 2, ni le 3. »
Je ne vois pas pourquoi puisque « cette probabilité ne change pas d’une journée à l’autre, peu importe ce qu’il arrive. »
Pour moi quelle que soit la date et quel que soit ce qui est arrivé auparavent la probabilité est la même 1/30.
« Pour que la prochaine foudre frappe le 4 avril, il faudrait d’abord qu’elle ne frappe pas le 2, ni le 3. »
Pourquoi donc ? Puisque « cette probabilité ne change pas d’une journée à l’autre, peu importe ce qu’il arrive. »
Pour moi la probabilité est toujours 1/30.
@gilgamesh777
C’est l’erreur que comettent la plupart des gens.
On ve peut pas la probabilite que la foudre frappe le 4 avril (c’est 1/30 et ne change pas).
On veut savoir la probabilite que le 4 avril soit la prochaine journee ou la foudre frappera.
Pour que le 4 avril soit la prochaine journee, il faut que la foudre ne frappe pas ni le 2, ni le 3 avril.
De mon point de vue l’ouverture d’une porte change les données du problème et le calcul doit être refait avec les nouvelles données soit deux portes et une chance sur deux de de trouver la voiture.
@Brennec
Dans la situation où Monty Hall sait derrière quelle porte se trouve la voiture, non vous avez tort: c’est 33% de chance pour la première porte choisie et 67% pour la porte restante.
Dans le cas où Monty ne sait pas où est la voiture, en effet c’est 50/50 (voir mon précédent commentaire du 18 mai).
En ouvrant la porte numéro 2 l’animateur Monty Hall crée en fait un nouveau jeu ici et il nous reste 2 portes,soit la 1 et la 3.La probabilité que la porte 1 cache la voiture est de 67 % .La probabilité que la porte 3 cache la voiture est également de 67 %.Donc la probabilité est la même pour les portes 1 et 3: il est donc faux d’affirmer que le joueur a plus de chances avec la porte 3 ,car les chances sont égales,et son choix n’est pas erroné mais équivalent !
Du coup il y a 134% de chance que la voiture se trouve derrière l’une des portes 1 ou 3.
Je précise mon commentaire précédent :
La probabilité que la porte 1 cache la voiture en sachant que la porte 2 cache la chèvre passe de 33% à 67 %. La probabilité que la porte 3 cache la voiture en sachant que la porte 2 cache la chèvre est de 67 %.Donc la probabilité est bien la même pour les 2 portes aussitôt que la porte 2 a été ouverte.
Du coup, il y a 134% de chance que la voiture se trouve derrière l’une des portes 1 ou 3 sachant que la porte 2 cache la chèvre.
🙂
De fait : la probabilité de 33% du choix initial du joueur ,soit que la porte 1 cache la voiture, monte immédiatement à 67 % aussitôt que Monty Hall change la situation de jeu en ouvrant la porte 2 en dévoilant la chèvre .Pour répondre à om,la probabilité que ce soit la porte 1 ou 3 qui cache la voiture est de 100% car c’est le maximum possible .
@Jean-Yves
Je pense que tu es un peu mêlé ici….la probabilité de la porte 1 et 3 ne peut être de 67%, c’est impossible.
Dans le jeu original, une fois la porte 2 ouverte, les probabilités sont porte 1 = 33% et porte 3 = 67%.
Et juste pour être sûr que c’est bien clair, il n’est pas question ici d’opinion ou de philosphie. Il n’y a pas de débat à y avoir. C’est un fait qui a été vérifié par expérimentation!
Quelle histoire intrigante,
Je cherche à suggérer une preuve indirecte ,pour ne plus suivre mon intuition ,que voici :
le Minarchiste mentionne « suite à votre choix initial, vous serez d’accord avec moi que la voiture a 33% de chance d’être derrière la porte numéro 1 que vous avez choisie et 67% de chances d’être derrière l’une des deux autres portes ».
L’on peut proposer une variante de la présentation (équivalente à celle du Minarchiste) de ce paradoxe : si le joueur a choisi une chèvre au départ dans sa porte 1,soit 2 fois sur 3 ,il prendra effectivement la bonne décision en changeant son choix,donc 2 fois sur trois.
Ces 2 illustrations renforcent le fait, incontestable je dois en convenir, que le Minarchiste avait raison ..
@JeanYves
Oui! C’est une bonne manière de voir le problème; je l’ai d’ailleurs réalisé lorsque j’ai testé le jeu avec des cartes.
On transforme le problème en un événement binaire:
Il y a deux possibilités: 1) la stratégie « garde » ou 2) la stratégie « change » l’emporte.
La stratégie gagnante est déterminée DÈS LE PREMIER CHOIX DE PORTE, peu importe ce qu’il arrive ensuite:
Si c’est la voiture, (1/3) la stratégie « garde » sera gagnante, peu importe ce qu’il arrive par la suite.
Si c’est une chèvre (2/3), la stratégie « change » sera gagnante, peu importe ce qu’il arrive par la suite.
Pour tester ce jeu avec des cartes (disons deux As et un roi), on place les 3 cartes sur la table, face cachée, on en choisit une au hasard et on la retourne. Si c’est un As, la stratégie « change » est gagnante, si c’est le roi, la stratégie « garde l’emporte ».
Refaites-le 100 fois et vous aurez environ 67 gains pour la stratégie « change » et 33 pour la stratégie « garde ». Magique!
Je vous donne les vraies probabilités. Effectivement en changeant de porte on double ses changes de gagner la voiture par rapport à la probabilité de la gagner sans changer de porte mais les probabilités des 4 cas possibles sont :
Gagner en changeant de porte : 1/3
Gagner sans changer de porte : 1/6
Perdre en changeant de porte : 1/6
Perdre sans changer de porte : 1/3
On a donc une chance sur 2 de gagner (ou de perdre).
En changeant de porte on optimise le gain et on minimise la perte mais on revient à la probabilité initiale de gain de 1/3 (ça c’est pour faire douter…)
Si la probabilité de gagner la voiture en changeant de porte était de 2/3 et sans changer de 1/3, la probabilité de l’événement « gagner » tel que défini dans l’arborescence serait alors de 2/3+1/3 = 1 et donc certain puisque les deux évènement sont incompatibles. La confusion provient d’une mauvaise définition des « univers » sur lesquels sont calculés les probabilités. L’univers sur lequel on calcule les probabilités gagner ou perdre la voiture quand il reste 2 portes n’est pas identique à l’univers initial comportant 3 portes. Les événements « gagner » ou « perdre » ne sont pas identiques si les épreuves sont scindées en « choix d’une porte sur trois » et « choix de changer de porte ».
Bonjour,
En réalité pour comprendre pourquoi il faut changer de choix de porte il faut analyser le problème posé autrement que du point de vue de la probabilité du joueur.
Le joueur a 1 chance sur 3 de désigner la bonne porte et en revanche il a 2 chances sur 3 de désigner la mauvaise porte.
Le présentateur doit ensuite ouvrir une porte après le choix du joueur. Cependant il ne peut ouvrir ni la porte choisie par le joueur ni la porte derrière laquelle se trouve la voiture.
Dans ces conditions choix, il n’y a que 2 possibilités pour le présentateur. Soit le joueur a désigné la porte derrière laquelle se trouve la voiture. Dans ce cas seulement le présentateur peut ouvrir n’importe qu’elle des 2 autres portes. Ce sera toujours une chèvre. Soit le joueur n’a pas choisi la bonne porte et la voiture se trouve derrière l’une des 2 portes restantes. Dans ce cas le présentateur ne pourra plus ouvrir que la seule porte qu’il peut encore ouvrir : la porte qui ne cache pas la voiture.
La probabilité qu’a le présentateur de se trouver dans le cas de figure du mauvais choix du joueur est de 2 sur 3. Cela signifie que 2 fois sur 3 le présentateur ouvrira la seule porte qu’il peut encore ouvrir. 2 fois sur 3 la voiture se trouvera derrière la porte qu’il n’a pas ouverte.
Le joueur doit donc modifier son choix non pas parce que sa probabilité a changé (il avait 1 chance sur 3 de désigner la bonne porte) mais bien parce que la probabilité du présentateur de ne pouvoir plus ouvrir qu’une seule et une seule porte est de 2 chance sur 3 !
Le joueur a donc intérêt de troquer sa probabilité de 1 sur 3 pour une probabilité meilleure de 2 sur 3 !
C’est donc juste un problème de logique et de raisonnement qui ne nécessite aucun calcul ni aucune expérience pour le vérifier : 2 fois sur 3 la porte que n’ouvrira pas le présentateur est celle derrière laquelle se trouve la voiture.
Bien à vous.